오프라인 경찰수에 대한 밀착상한: 경찰이 도둑보다 빠른 경우

초록

지정된 경로를 따라 격자 그래프를 탐색하는 경찰들이 있다. 도둑은 이들의 경로를 미리 모두 알고 있지만, 경찰은 도둑의 위치에 대해 전혀 알지도 못하고, 경로를 수정할 수도 없다. 그러면 유한한 시간 내에 도둑을 잡기 위해서는 몇 명의 경찰이 필요할까? 이 숫자, 즉 도둑을 잡기위해 필요한 최소의 경찰수를 오프라인 경찰수 라고 한다. 오프라인 경찰수에 대해 알려진 자명한 상한은 인데, 왜냐하면 명의 경찰이 일렬횡대로 서서 격자그래프를 바닥부터 천장까지 탐색해간다면 도둑은 어떻게 해도 시간 내에 잡힐 수밖에 없기 때문이다. Brass et al. [1]은 교번모델 - 매시간 먼저 경찰이 최대 개의 간선을 이동한 후 도둑이 최대 한 개의 간선을 이동하는 모델 - 에 대해서, 도둑은 언제나명의 경찰을 피할 수 있으며, 명의 경찰이 어떠한 도둑도 잡을 수 있도록 하는 탐색경로를 제시했다. 즉, 오프라인 경찰수의 하한이 이고 상한이 임을 증명했다. 또한 인 경우, 명의 경찰이 도둑을 잡는 탐색경로를 제시함으로써, 인 교번모델의 오프라인 경찰수가 임을 보였다. 이 논문에서는 나머지 경우, 즉 인 교번모델에서, 명의 경찰이 어떠한 도둑도 잡을 수 있도록 하는 탐색경로를 제시하여 오프라인 경찰수가 임을 보인다.

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